티호노프 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 관련 개념
- 5.1. 균등 공간
- 5.2. 콤팩트화
6. 역사
참조

1. 개요

티호노프 공간은 위상 공간의 일종으로, 하우스도르프 공간이면서 완비 정칙 공간인 공간으로 정의된다. 완비 정칙 공간은 닫힌 집합과 점을 연속 함수를 통해 분리할 수 있는 공간이며, 티호노프 공간은 이러한 완비 정칙 공간에 T1 공간 또는 콜모고로프 공간 조건을 추가하여 정의되기도 한다. 티호노프 공간은 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 집합과 위상 동형이며, 균등 공간 구조를 가질 수 있다. 모든 거리 공간, 유클리드 공간, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간, 위상다양체 등이 티호노프 공간의 예시이며, 완전 정규 공간과 티호노프 공간은 시작 위상에 대해 잘 작동한다. 티호노프 공간은 균등 공간과 콤팩트화와 관련이 있으며, 특히 스톤-체흐 콤팩트화를 갖는다. 이 공간은 안드레이 티호노프의 이름을 따서 명명되었으며, '완전 정칙 공간'과 '티호노프 공간'은 서로 다른 의미로 사용될 수 있으므로 주의가 필요하다.

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티호노프 공간
개요
유형	정칙 하우스도르프 공간
분류
콜모고로프 분류	T₀ 공간 (콜모고로프) T₁ 공간 T₂ 공간 (하우스도르프) T₂½ 공간 (우리손) 완전 T₂ 공간 (완전 하우스도르프) T₃ 공간 (정칙 하우스도르프) T₃½ 공간 (티호노프) T₄ 공간 (정규 하우스도르프) T₅ 공간 (완전 정규 하우스도르프) T₆ 공간 (완전한 정규 하우스도르프)

2. 정의

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''완비 정칙 공간'''(完備正則空間, completely regular space^영어)이라고 한다.^[5]

(점과 닫힌집합의 실함수를 통한 분리) 임의의 닫힌집합 $C\subseteq X$ 및 $x\in X\setminus C$ 에 대하여, $f(x)=0$ 이며 $f(C)=\{1\}$ 인 연속 함수 $f\colon X\to[0,1]$ 이 존재한다.^[5]
$X$ 의 위상은 어떤 연속 함수들의 집합 $\mathcal F\subseteq\mathcal C(X,\mathbb R)$ 에 대한 시작 위상이다.^[4]^[9]
$X$ 의 위상은 연속 함수의 집합 $\mathcal C(X,\mathbb R)$ 에 대한 시작 위상이다.^[4]
$X$ 의 위상은 유계 연속 함수의 집합 $\mathcal C_{\text{bd}}(X;\mathbb R)$ 에 대한 시작 위상이다.^[4]
(균등화 가능성 uniformizability^영어) $X$ 위에 그 위상과 호환되는 균등 공간 구조가 존재한다.

위상 공간

X

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''티호노프 공간'''이라고 한다.

$X$ 는 콜모고로프 공간이며 완비 정칙 공간이다.
$X$ 는 T₁ 공간이며 완비 정칙 공간이다.^[5]
$X$ 는 하우스도르프 공간이며 완비 정칙 공간이다.
$X$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 집합과 위상 동형이다.^[5]
$X$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간의 조밀 집합과 위상 동형이다.^[5]
$X$ 는 $[0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}$ 의 부분 집합과 위상동형이다.^[5] 여기서 $\mathcal C(X,Y)$ 는 $X$ 에서 $Y$ 로 가는 연속 함수들의 집합이며, $[0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}$ 는 표준 위상을 부여한 단위 구간 $[0,1]$ 의 $|\mathcal C(X,[0,1])|$ 개 만큼의 곱공간이다. 이는 티호노프 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
$X$ 에서 그 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta X$ 로 가는 연속 함수 $\iota\colon X\to\beta X$ 에 대하여, $X$ 는 그 상과 위상 동형이다.
$X$ 위에, 그 위상과 호환되는 하우스도르프 균등 공간 구조가 존재한다.

위상 공간

X

는 점을 (유계) 연속 실수값 함수를 통해 닫힌 집합과 분리할 수 있다면 '''완전 정규 공간'''이라고 한다. 모든 닫힌 집합

A \subseteq X

와 모든 점

x \in X \setminus A

에 대해,

f(x)=1

이고

f\vert_{A} = 0

인 실수값 연속 함수

f : X \to \R

가 존재한다.

위상 공간이 완전 정규 하우스도르프 공간이면 '''티호노프 공간''' (또는 '''T_3½ 공간''', '''T_π 공간''', '''완전 T₃ 공간''')이라고 한다.

완전 정규 공간과 티호노프 공간은 콜모고로프 동치의 개념을 통해 관련되어 있다. 위상 공간은 완전 정규이면서 동시에 T₀일 때 티호노프 공간이다. 반면에, 공간의 콜모고로프 몫이 티호노프 공간일 때 그 공간은 완전 정규 공간이다.

3. 성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^[5]

: 정규 하우스도르프 공간(T₄) ⊊ 티호노프 공간(T_3½) ⊊ (정칙 하우스도르프 공간(T₃) ∩ 완비 하우스도르프 공간)

완비 정칙 공간의 부분 공간은 완비 정칙 공간이다. 완비 정칙 공간의 임의 개수 곱공간은 완비 정칙 공간이다.^[6]^[7] 하우스도르프 공간의 부분 공간과 곱공간은 하우스도르프 공간이므로, 티호노프 공간의 부분 공간과 임의 개수 곱공간 역시 티호노프 공간이다.

완전 정규성과 티호노프 성질은 시작 위상에 대해 잘 작동한다. 구체적으로, 완전 정규성은 임의의 시작 위상을 취함으로써 보존되며, 티호노프 성질은 점을 분리하는 시작 위상을 취함으로써 보존된다. 따라서 다음과 같은 사실이 성립한다.

완전 정규 공간 또는 티호노프 공간의 모든 부분 공간은 동일한 성질을 갖는다.
곱 공간이 완전 정규(각각 티호노프)인 것은 각 인자 공간이 완전 정규(각각 티호노프)인 경우에만 해당한다.

모든 분리 공리와 마찬가지로 완전 정규성은 마지막 위상을 취함으로써 보존되지 않는다. 특히, 완전 정규 공간의 몫 공간은 정규일 필요가 없다. 티호노프 공간의 몫 공간은 하우스도르프일 필요조차 없으며, 그 예로 두 원점을 갖는 직선이 있다. 무어 평면의 닫힌 몫 공간은 반례를 제공한다.

모든 위상 공간

X

에 대해,

C(X)

는

X

에 대한 실수 값을 갖는 연속 함수의 집합을 나타내고,

C_b(X)

는 유계 함수의 부분 집합인 실수 값을 갖는 유계 연속 함수를 나타낸다.

완전 정규 공간은 그 위상이

C(X)

또는

C_b(X)

에 의해 완전히 결정된다는 사실로 특징지을 수 있다. 특히:

공간 $X$ 는 $C(X)$ 또는 $C_b(X)$ 에 의해 유도된 처음 위상을 가질 때만 완전 정규 공간이다.
공간 $X$ 는 모든 닫힌 집합이 $X$ 의 영점 집합족의 교집합으로 표현될 수 있을 때만 완전 정규 공간이다(즉, 영점 집합은 $X$ 의 닫힌 집합에 대한 기저를 형성한다).
공간 $X$ 는 $X$ 의 코영역 집합이 $X$ 의 위상에 대한 기저를 형성할 때만 완전 정규 공간이다.

임의의 위상 공간

(X, \tau)

가 주어지면, 완전 정규 공간을

(X, \tau)

와 연관시키는 보편적인 방법이 있다.

C_{\tau}(X)

에 의해 유도된

X

에 대한 처음 위상을 ρ로 두거나, 동등하게

(X, \tau)

의 코영역 집합의 기저에 의해 생성된 위상을 ρ로 둔다. 그러면 ρ는

\tau

보다 더 거친

X

에 대한 가장 미세한 완전 정규 위상이 된다. 이 구성은 임의의 연속 함수

f : (X, \tau) \to Y

가 완전 정규 공간

Y

에 대해

(X, \rho)

에서 연속적이 될 것이라는 의미에서 보편 성질을 갖는다. 범주론의 언어로,

(X, \tau)

를

(X, \rho)

로 보내는 함자는 포함 함자 '''CReg''' → '''Top'''의 왼쪽 인접이다. 따라서 완전 정규 공간의 범주 '''CReg'''는 위상 공간의 범주인 '''Top'''의 반사적 부분 범주이다. 콜모고로프 몫을 취함으로써, 티호노프 공간의 부분 범주 또한 반사적임을 알 수 있다.

위의 구성에서

C_{\tau}(X) = C_{\rho}(X)

임을 보일 수 있으므로, 링

C(X)

와

C_b(X)

는 일반적으로 완전 정규 공간

X

에 대해서만 연구된다.

실컴팩트 공간 티호노프 공간의 범주는 링

C(X)

(여기서

X

는 실컴팩트)과 링 준동형 사상을 사상으로 하는 범주와 반대-동치이다. 예를 들어,

X

가 (실) 컴팩트일 때

C(X)

로부터

X

를 재구성할 수 있다. 따라서 이러한 링의 대수적 이론은 집중적인 연구의 대상이다. 티호노프 공간의 많은 속성과 여전히 유사하지만, 실대수 기하학에도 적용 가능한 이러한 링의 광범위한 일반화는 실 닫힌 링의 클래스이다.

티호노프 공간은 정확히 임베딩될 수 있는 공간이다. 더 정확하게는, 모든 티호노프 공간

X

에 대해

X

가

K

의 부분 공간과 동형인 컴팩트 하우스도르프 공간

K

가 존재한다.

사실, 항상

K

를 티호노프 큐브 (즉, 단위 구간의 무한 곱)로 선택할 수 있다. 모든 티호노프 큐브는 티호노프 정리의 결과로 컴팩트 하우스도르프 공간이다. 컴팩트 하우스도르프 공간의 모든 부분 공간은 티호노프 공간이므로 다음을 얻는다.

:''위상 공간은 티호노프 공간일 필요충분조건은 티호노프 큐브에 임베딩될 수 있다는 것이다.''

특히 관심 있는 것은

X

의 상이

K

에서 조밀한 임베딩이다. 이러한 임베딩을

X

의 하우스도르프 콤팩트화라고 부른다.

임의의 티호노프 공간

X

를 콤팩트 하우스도르프 공간

K

에 임베딩하면,

K

에서

X

의 상의 폐포는

X

의 콤팩트화가 된다.

티호노프가 완전 정규 공간을 정의한 1930년 논문^[2]에서, 그는 또한 모든 티호노프 공간이 하우스도르프 콤팩트화를 갖는다는 것을 증명했다.

이러한 하우스도르프 콤팩트화 중에는 유일한 "가장 일반적인" 콤팩트화인 스톤-체흐 콤팩트화

\beta X

가 있다.

이 콤팩트화는 다음의 보편 성질로 특징지어진다. 즉,

X

에서 임의의 다른 콤팩트 하우스도르프 공간

Y

로의 연속 함수

f

가 주어지면,

f

를 확장하는 유일한 연속 함수

g : \beta X \to Y

가 존재하며, 이는

f

가

g

와

j

의 합성이라는 의미이다.

완전 정규성은 위상 공간에 균등 구조가 존재하기 위해 필요한 정확한 조건이다. 즉, 모든 균등 공간은 완전 정규 위상을 가지며, 모든 완전 정규 공간

X

는 균등화 가능하다. 위상 공간이 분리된 균등 구조를 갖는 것은 그 공간이 티호노프 공간인 경우에만 가능하다.

주어진 완전 정규 공간

X

에 대해

X

의 위상과 호환되는 균등성은 일반적으로 하나 이상 존재한다. 그러나 항상 가장 세밀한 호환 균등성, 즉

X

에 대한 세밀 균등성이 존재한다. 만약

X

가 티호노프 공간이면 균등 구조는

\beta X

가 균등 공간

X

의 완비화가 되도록 선택될 수 있다.

4. 예시

티호노프 공간이 아닌 정칙 (완비) 하우스도르프 공간의 구성은 복잡한 편이다. 한 가지 간단한 구성은 다음과 같다. 집합

: $X=\{(0,-1)\}\cup\mathbb R\times[0,\infty)$

위에 각 점이 다음과 같은 국소 기저를 갖는 위상을 부여한다.

모든 $(x,y)\in\mathbb R\times(0,\infty)$ 은 고립점이다 (즉, $\{(x,y)\}$ 는 $(x,y)$ 의 열린 근방이다).
$(x,0)\in\mathbb R\times\{0\}$ 및 유한 집합 $F$ 에 대하여, $(\{x\}\times[0,2]\cup\{(x+y,y)\colon y\in[0,2]\})\setminus F$ 는 $(x,0)$ 의 열린 근방이다.
$n\in\mathbb N$ 에 대하여, $\{(0,-1)\}\cup[n,\infty)\times\mathbb R$ 는 $(0,-1)$ 의 열린 근방이다.

그렇다면,

X

는 하우스도르프 공간이며, 완비 하우스도르프 공간이며, 정칙 공간이지만, 티호노프 공간이 아니다.^[8]^[9]

'''니미츠키 평면'''(Niemytzki plane^영어)은 닫힌 상반평면

\mathbb R\times[0,\infty)

위에, 그 통상적인 열린집합들과 다음과 같은 꼴의 집합들을 기저로 하는 위상을 부여한 위상 공간이다.

:

\{x\}\cup\operatorname{ball}(x+(0,\epsilon),\epsilon)\qquad(x\in\mathbb R\times\{0\},\;\epsilon>0)

즉, 추가된 열린집합들은 상반평면의 경계선에 접하는 (통상적인 거리 함수에 대한) 열린 원판과 그 접점의 합집합들이다.

니미츠키 평면은 티호노프 공간이며, 모든 닫힌집합이 G_δ 집합이지만, 정규 공간이 아니다.^[10]^[9]

수학적 분석에서 연구되는 거의 모든 위상 공간은 티호노프 공간이거나 적어도 완전 정칙 공간이다.

예를 들어, 실수선은 표준적인 유클리드 위상에서 티호노프 공간이다.

다른 예시는 다음과 같다.

모든 거리 공간은 티호노프 공간이고, 모든 유사 거리 공간은 완전 정칙 공간이다.
모든 국소 콤팩트 정칙 공간은 완전 정칙 공간이므로, 모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 티호노프 공간이다.
특히 모든 위상다양체는 티호노프 공간이다.
전순서 집합은 순서 위상을 가질 때 티호노프 공간이다.
모든 위상군은 완전 정칙 공간이다.
모든 유사 거리화 가능 공간은 완전 정칙 공간이지만, 그 공간이 하우스도르프 공간이 아니면 티호노프 공간이 아니다.
모든 세미노름 공간은 완전 정칙 공간이다 (유사 거리화 가능하기 때문이며, 위상 벡터 공간, 즉 위상군이기 때문이다). 하지만 세미노름이 노름이 아니면 티호노프 공간이 아니다.
거리 공간과 위상군을 모두 일반화하여, 모든 균등 공간은 완전 정칙 공간이다. 역도 성립한다: 모든 완전 정칙 공간은 균등화 가능하다.
모든 CW 복합체는 티호노프 공간이다.
모든 정규 정칙 공간은 완전 정칙 공간이고, 모든 정규 하우스도르프 공간은 티호노프 공간이다.
니에미츠키 평면은 정규 공간이 아닌 티호노프 공간의 예이다.

완전 정칙 공간이 아닌 정칙 하우스도르프 공간이 있지만, 이러한 예는 구성하기 어렵다.

5. 관련 개념

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''완비 정칙 공간'''이라고 한다.

임의의 닫힌집합 $C\subseteq X$ 및 $x\in X\setminus C$ 에 대하여, $f(x)=0$ 이며 $f(C)=\{1\}$ 인 연속 함수 $f\colon X\to[0,1]$ 이 존재한다.^[5]
$X$ 의 위상은 어떤 연속 함수들의 집합 $\mathcal F\subseteq\mathcal C(X,\mathbb R)$ 에 대한 시작 위상이다.^[4]

위상 공간

X

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''티호노프 공간'''이라고 한다.

$X$ 는 콜모고로프 공간이며 완비 정칙 공간이다.
$X$ 는 T₁ 공간이며 완비 정칙 공간이다.^[5]
$X$ 는 하우스도르프 공간이며 완비 정칙 공간이다.
$X$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 집합과 위상 동형이다.^[5]
$X$ 는 $[0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}$ 의 부분 집합과 위상동형이다.^[5]

5. 1. 균등 공간

위상 공간

X

위에, 그 위상과 호환되는 하우스도르프 균등 공간 구조가 존재한다. 완전 정규성은 위상 공간에 균등 구조가 존재하기 위해 필요한 정확한 조건이다. 즉, 모든 균등 공간은 완전 정규 위상을 가지며, 모든 완전 정규 공간

X

는 균등화 가능하다. 위상 공간이 분리된 균등 구조를 갖는 것은 그 공간이 티호노프 공간인 경우에만 가능하다.

주어진 완전 정규 공간

X

에 대해

X

의 위상과 호환되는 균등성은 일반적으로 하나 이상 존재한다. 그러나 항상 가장 세밀한 호환 균등성, 즉

X

에 대한 세밀 균등성이 존재한다. 만약

X

가 티호노프 공간이면 균등 구조는

\beta X

가 균등 공간

X

의 완비화가 되도록 선택될 수 있다.

5. 2. 콤팩트화

임의의 티호노프 공간

X

를 콤팩트 하우스도르프 공간

K

에 임베딩하면,

K

에서

X

의 상의 폐포는

X

의 콤팩트화가 된다.^[2]

X

의 상이

K

에서 조밀한 임베딩은

X

의 하우스도르프 콤팩트화라고 부른다.

이러한 하우스도르프 콤팩트화 중에는 유일한 "가장 일반적인" 콤팩트화인 스톤-체흐 콤팩트화

\beta X

가 있다. 이 콤팩트화는 다음의 보편 성질로 특징지어진다. 즉,

X

에서 임의의 다른 콤팩트 하우스도르프 공간

Y

로의 연속 함수

f

가 주어지면,

f

를 확장하는 유일한 연속 함수

g : \beta X \to Y

가 존재하며, 이는

f

가

g

와

j

의 합성이라는 의미이다.

6. 역사

안드레이 티호노프의 이름이 붙어 있다.

참조

_[1] 논문 Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen 1925
_[2] 논문 Über die topologische Erweiterung von Räumen 1930
_[3] 논문 On Two Problems of Urysohn 1946
_[4] 서적 Rings of continuous functions Springer-Verlag 1976
_[5] 서적 알기쉬운 위상수학 http://www.kyowoo.co[...] 교우사 2013
_[6] 서적 Topological and Uniform Spaces https://archive.org/[...] Springer-Verlag 1987
_[7] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall 2000
_[8] 저널 A regular space which is not completely regular 1981
_[9] 서적 General topology Heldermann Verlag 1989
_[10] 서적 Counterexamples in Topology Springer-Verlag 1978

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